Последователността в този пример не беше монотонна, но тя се сближава. Забележете също, че можем да направим няколко варианта на тази теорема. Ако {an} е ограничено отгоре и се увеличава, тогава то се сближава и по същия начин, ако {an} е ограничено отдолу и намалява, тогава се сближава.
Всички монотонни последователности конвергентни ли са?
A последователност (a ) е монотонно нарастващо, ако a +1≥ a за всички n ∈ N. Последователността е строго монотонна нарастваща, ако имаме > в дефиницията. Монотонните намаляващи последователности се дефинират по подобен начин. ограничена монотонна нарастваща последователност е конвергентна.
Трябва ли една поредица да е монотонна, за да се сближи?
Не всички ограничени последователности, като (−1)n, се сближават, но ако знаехме, че ограничената последователност е монотонна, тогава това би се променило. ако an ≥ an+1 за всички n ∈ N. Последователност е монотонна, ако се увеличава или намалява. и е ограничена, тогава тя се сближава.
Може ли една неограничена последователност да бъде сходна?
Така че неограничената последователност не може да бъде конвергентна.
Какво означава, ако една последователност не е монотонна?
Ако една последователност понякога се увеличава, а понякога намалява и следователно няма последователна посока, това означава, че последователността не е монотонна. С други думи, немонотонната последователност се увеличава за части от последователността и намалява за други.
