Ако A е m × n матрица, тогава ATA и AAT имат еднакви ненулеви собствени стойности … Следователно Ax е собствен вектор на AAT, съответстващ на собствена стойност λ. Аналогичен аргумент може да се използва, за да се покаже, че всяка ненулева собствена стойност на AAT е собствена стойност на ATA, като по този начин се завършва доказателството.
Собствените стойности на AAT и ATA еднакви ли са?
Матриците AAT и ATA имат същите ненулеви собствени стойности. Раздел 6.5 показа, че собствените вектори на тези симетрични матрици са ортогонални.
АТА същото ли е като AAT?
Тъй като AAT и ATA са реално симетрични, те могат да бъдат диагонализирани с ортогонални матрици. От предишното твърдение следва (тъй като геометричните и алгебричните множества съвпадат), че AAT и ATA имат еднакви собствени стойности.
Има ли ATA отделни собствени стойности?
Вярно. Например, ако A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , тогава характеристичното уравнение det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 няма повтарящ се корен. Следователно всички собствени стойности на A са различни и A може да се диагонализира. 3.35 За всяка реална матрица A, AtA винаги може да се диагонализира.
Могат ли различните собствени вектори да имат една и съща собствена стойност?
Два отделни собствени вектора, съответстващи на една и съща Собствена стойност винаги са линейно зависими. Два различни собствени вектора, съответстващи на една и съща собствена стойност, винаги са линейно зависими.
