Кога една абелева група е циклична?

2024 Автор: Fiona Howard | [email protected]. Последно модифициран: 2024-01-10 06:34

Неформално групата е циклична , ако е генерирана от един елемент. То е абелева, ако умножението се променя. Групата е циклична, ако може да бъде генерирана от един елемент.

Абелова група циклична ли е?

Всички циклични групи са абелови, но абелева група не е непременно циклична. Всички подгрупи на абелова група са нормални. В абелова група всеки елемент е в клас на конюгация сам по себе си и таблицата с знаци включва мощности на един елемент, известен като генератор на групи.

Как доказвате, че абелова група е циклична?

Доказателство

1. Нека G е циклична група с генератор g∈G. А именно, имаме G=⟨g⟩ (всеки елемент в G е някаква степен на g.)
2. Нека a и b са произволни елементи в G. Тогава съществуват n, m∈Z такива, че a=gn и b=gm.
3. Оттук получаваме ab=ba за произволно a, b∈G. Така G е абелова група.

Как да разберете дали дадена група е циклична?

4 отговора. Крайната група е циклична, ако и само ако има точно една подгрупа от всеки делител на нейния ред. Така че, ако намерите две подгрупи от един и същи ред, тогава групата не е циклична и това понякога може да помогне.

Какво е циклична група, обяснете с пример?

Например, (Z/6Z)^×={1, 5} и тъй като 6 е два пъти нечетно просто, това е циклична група. … Когато (Z/nZ)^× е цикличен, неговите генератори се наричат примитивни корени по модул n. За просто число p групата (Z/pZ)^{× винаги е циклична, състояща се от ненулевите елементи на крайното поле от ред p.}